Bilangan Irasional : Pengertian, Sejarah, Nilai, Sifat dan Contoh

Pengertian Bilangan Irasional

Apa itu Bilangan Irasional? Kata Irasional berasal dari bahasa Latin yakni “ir” atau merupakan bentuk perubahan dari “in” yang mempunyai arti tidak serta rasionalis “akal budi”.

Mungkin dalam Matematika kita mengenal arti bilangan rasional secara sederhana yakni bilangan riil yang tidak dapat dibagi kembali atau dengan kata lain hasil baginya tetap ada/tidak berhenti.

Sementara itu bilangan irasional ini terdapat dua kata yakni kata bilangan dan kata irasional. Bilangan adalah elemen utama dalam dunia Matematika dan tentunya kita seringkali menemukan banyak jenis-jenis bilangan dan salah satunya adalah bilangan irasional ini.

Adapun pengertian bilangan irasional yaitu bilangan yang tidak bisa diubah kedalam bentuk pecahan biasa dengan rumus (ab).

Walaupun bilangan tersebut kita ubah ke dalam pecahan desimal, hasil yang diperoleh akan berupa angka yang tidak berpola.

Salah satu contoh dari bilangan irasional yang paling terkenal yang biasa kita sebut dengan bilangan phi.

Sejarah Bilangan Irasional

Konsep bilangan irasional ini menurut sejarahnya ditemukan oleh seorang tokoh yang bernama Hippasus berasal dari Metapontum pada abad 500 SM.

Namun sayangnya penemuan dari bilangan irasional ini menyebabkan dirinya dihukum mati oleh Phytagoras dengan alasan karena dianggap tokoh ini adalah penganut ajaran sesat.

Setelah tokoh Hippasus muncul kemudian ada tokoh lain yang bernama Gauss. Tokoh ini pun juga ikut memberikan penemuan teori dasar atau yang disebut dengan fundamental aljabar.

Adapun teori dasar tersebut berbicara tentang variabel polinominal yang bersifat tunggal dan bukan bilangan konstanta dengan persamaan yang kompleks atau setidaknya memuat satu jenis akar yang utuh.

Selain dua tokoh tadi menurut sejarah penemuan bilangan irasional ini sejatinya ada banyak muncul matematikawan.

Termasuk kemunculan tokoh yang bernama Jean le Rond d’Alembert dan dia pada awalnya memberikan bukti yang salah pada disertasi Gauss yang juga banyak mengkritisi pemikiran kerja d’Alembert.

Namun ironisnya standar percobaan yang dilakukan oleh tokoh bernama Gauss ini tidak dapat diterima sehingga ini menyebabkan digunakannya teori Kurva Jordan di dalam kurva Fraktal secara nyata.

Walaupun ada tiga bukti lain yang muncul secara berkelanjutan dan yang paling terakhir muncul di tahun 1849, namun teorinya itu dianggap terlalu sulit untuk dipahami.

Kemudian upaya di dalam melakukan klarifikasi konsep dari bilangan kompleks banyak dibicarakan. Dengan contoh bilangan irasional yang paling terkenal cara pemecahannya yaitu meletakkan bilangan minus pada satu tingkat dibawah sumbu imajiner dan bilangan x pada sumbu positif (nyata).

Lalu Gauss pun melakukan perubahan pada bilangan irasional yang sebelumnya orang lain ataupun tokoh lain menganggap bahwa bilangan irasional itu adalah bilangan antara ada atupun tiada kini menjadi dapat diperhitungkan.

Kemudian Gauss juga memberikan penemuan penting dalam teori bilangan yang dituangkan dalam bukunya pada tahun 1801 silam berjudul Disquisitiones Arithmeticae yang dalam bahasa Latin disebut dengan istilah Investigasi Aritmetika.

Dimana ditemukan banyak hal termasuk Gauss memperkenalkan penggunaan notasi ≡ untuk kekongruenan dan lalu menggunakannya dalam sebuah modul artimetika.

Pada abad ke 19 silam perkembangan terhadap konsep bilangan imajiner ini mulai muncul yang dicetuskan oleh seorang tokoh bernama Abraham de Moivre dan secara khusus dilanjutkan oleh seorang tokoh bernama Leonhard Euler dimana konsepnya lebih mudah dipahami.

Adapun penyelesaian teori mengenai bilangan kompleks di abad ke-19 ini membahas tentang bagaimana membedakan antara bilangan irasional menjadi bilangan aljabar dan transenden.

Pada masa Euclid telah ditemukan bukti akan bilangan transenden ini dan juga mengenai banyaknya studi tentang teori bilangan irasional.

Disamping itu pada tahun 1872 silam orang-orang menyakiskan termuatnya teori-teori dari seorang tokoh bernama Karl Weierstrass yang merupakan murid dari tokoh yang bernama Ernst Kossak.

Selain itu bermunculan pula tokoh lainnya seperti Eduard Heine (Crelle’s Journal, 74), Georg Cantor (Annalen, 5), dan Richard Dedekind.

Sementara itu tokoh Meray memulai teorinya pada tahun 1869 hampir sama dengan tokoh bernama Heine meskipun teorinya mulai dikutip secara umum pada tahun 1872 silam.

Untuk pecahan kontinyu, yang berhubungan dekat dengan bilangan irasional ini berhasil mendapatkan perhatian dari tokoh bernama Euler.

Hingga pada abad ke 19 semua karya tulisan berhasil dibuat dengan apik oleh tokoh bernama Joseph Louis Lagrange.

Disamping itu tokoh bernama Dirichlet juga ikut memberikan kontribusi dalam teori umumnya seperti yang banyak dilakukan oleh para tokoh lain dalam penerapan teori atau subyek yang terkait dengan bilangan irasional ini.

Nilai Bilangan Irasional

Nilai bilangan irasional dapat ditemukan melalui nilai pendekatan sebuah bilangan akar.

1. Nilai Pendekatan Bilangan Irasional Akar

Untuk mendapatkan atau menunjukkan nilai bilangan irasional dapat digunakan dengan sebuah cara yang disebut dengan metode rata-rata agar menghasilkan nilai pendekatan. Seperti berikut ini adalah cara yang perlu dilakukan dalam menemukan nilai pendekatan rasional, khususnya dalam bentuk akar.

• Pertama kita tentukan hampiran dari nilai pendekatannya dengan cara memilih nilai terkecil pada suatu bilangan.
• Kedua kita mencari hasil pembagian dari bilangan akar dengan bilangan hampiran dan tentukan angka desimalnya.
• Ketiga kita menemukan nilai rata-rata pada bilangan hampiran dengan hasil pembagiannya dan ini yang disebut dengan bilangan pendekatan pertama.
• Mengulang langkah pada poin b dan c agar kita dapat memperoleh nilai pendekatan yang lebih baik.

2. Mencari Nilai Pendekatan

Contoh mencari nilai pendekatan seperti berikut ini:

Pada angka (1,7)2 = 2,89 maka 1,7 dapat dipilih sebagai nilai hampiran. Kemudian, angka 3 (bilangan yang diakar) dibagi dengan angka1,7 : 3:1,7 = 1,7647

> Selanjutnya kita mencari nilai rata-rata dengan hasil = 1,73235

> Angka 1,73235 dipilih sebagai nilai hampiran baru.

Kemudian angka 3 dibagi dengan hampiran

3 : 1,73235 = 2, 73175

= 1, 73205

Jadi, nilai pendekatannya adalah 1,73205

> Untuk memeriksa ulang hasilnya bisa dengan cara kita kuadratkan 1,73205

(1,73205)2 = (1,73205) . (1,73205) = 2, 9999972025

Yang mana dari hasil penguadratan diperoleh dari “sangat dekat” atau “hampir sama” dengan angka 3.

Sifat Bilangan Irasional

Secara umum sifat bilangan irasional adalah sebagai berikut ini:

• Bilangan irasional tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b dengan a, b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0
• Bilangan irasional ini memenuhi sifat komutatif penjumlahan dan perkalian.

Sebagai contoh a dan b merupakan bilangan irasional, maka ini berlaku sifat komutatif untuk sebuah penjumlahan dan perkalian.

Rumusnya adalah seperti di bawah ini:

• Sifat komutatif penjumlahan: a + b = b +
• Sifat Komutatif Perkalian: a × b = b × a
• Bilangan irasional memenuhi sifat asosiatif penjumlahan dan perkalian.

Misalnya a, b, dan c adalah bilangan irasional, maka berlaku sifat asosiatif untuk operasi penjumlahan dan perkalian.

Rumus sifat asosiatif terhadap penjumlahan adalah (a + b) + c = a + (b + c) Sifat asosiatif perkalian: (a × b) × c = a × (b × c)

• Bilangan irasional harus memenuhi sifat distributif terhadap penjumlahan dan pengurangan

> Misalnya a, b, dan c merupakan sebuah bilangan irasional, maka ketiganya berlaku sifat distributif.

Rumus sifat distributif terhadap penjumlahan adalah a × (b + c) = (a × b) + (a × c) Sifat distributif terhadap pengurangan: a × (b – c) = (a × b) – (a × c)

• Bilangan irasional haruslah mempunyai elemen identitas. Adapun elemen identias pada bilangan irasional ini sama dengan elemen identitas pada bilangan real, yaitu angka 0 untuk penjumlahan dan angka 1 untuk perkalian.

Contoh bilangan irasional yang mempunyai elemen identitas:

Suatu bilangan irasional √2 apabila dijabarkan harus memenuhi identitas penjumlahan √2 + 0 = √2 dan identitas perkalian √2 × 1 = √2

• Setiap elemen bilangan irasional mempunyai sistem invers. Maksud dari invers pada bilangan irasional adalah suatu bilangan yang dapat dihitung berdasarkan konsep pecahan. Perlu diketahui bahwa bentuk pecahan a/b bilangan irasional “tidak memenuhi” a dan b = bulat. Kemudian suatu bilangan yang digunakan pada suatu operasi dengan bilangan inversnya hasilnya harus berupa elemen identitas yang telah digunakan.

Contoh bilangan irasional yang mempunyai sistem invers:

Phi Π adalah bilangan irasional yang dapat ditulis sebagai Π/1. Maka invers perkalian dari Π adalah 1/Π. Sehingga hasil invers penjumlahan dari Π adalah -Π √3 kemudian penulisan bilangan irasionalnya yaitu √3/1. Kemudian invers perkalian dari √3 adalah 1/√3 sedangkan invers penjumlahan dari √3 adalah -√3

• Bilangan operasional apabila ada pada perkalian dengan angka nol maka akan menghasilkan angka nol. Ini artinya semua bilangan irasional yang dikalikan dengan nol akan menghasilkan angka nol.
•  Bilangan irasional tidak mempunyai bentuk desimal berulang atau tidak mempunyai bentuk pola berulang.

Seperti misalnya kita temukan pada akar √2 =
1,414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212644121497099935831… Hingga digit ke-2 juta, pola berulang dari √2 belum juga ditemukan.

• Umumnya bilangan irasional memiliki ciri berupa bentuk akarnya tidak sempurna atau merupakan hasil dari bilangan desimal yang tak berulang.
  Ini artinya adalah bentuk akar yang tidak sempurna ini merupakan bentuk akar yang menghasilkan nilai tidak bulat.

Contoh bilangan irasional dengan bentuk akar tidak sempurna:

√2 = 1.4142135… √3 = 1.7320508… √5 = 2.236067…

• Bilangan irasional mempunyai sifat tidak tertutup yaitu hasilnya tetap bilangan irasional meskipun dilakukan operasi penjumlahan ataupun perkalian antar sesama bilangan.

Contoh bilangan irasional yang sifatnya tidak tertutup:

√2 × √2 = √4 = 2; hasil rasional √2 × √3 = √6; hasilnya tetap irasional

Contoh Bilangan Irasional

Pengertian bilangan irasional adalah bilangan real atau nyata yang tidak dapat dinyatakan ke dalam bentuk pecahan atau disebut dengan rasio.

Biasanya beberapa contoh bilangan irasional ini ada dalam bentuk akar ataupun konstanta. Adapun beberapa contoh bilangan irasional yaitu tiga bilangan utama ini √2, π, dan e.

1. Kemudian mengapa bilangan √2 merupakan bilangan irasional?

Pasalnya apabila dihitung dengan menggunakan bantuan alat hitung seperti kalkulator nilai dari √2 hasilnya yaitu 1,41421356237095048801688724…

Dimana bilangan desimal ini tidak berulang dan tidak terhingga jumlah angkanya di belakang angka desimal atau koma.

Namun perlu diketahui juga bahwa, tidak semua bilangan dalam bentuk akar merupakan bilangan irasional. Seperti misalnya pada bentuk akar √4 dan √9. Nilai dari √4 dan √9 yaitu 2 dan 3 yang merupakan bilangan bulat.

2. Mengapa bilangan π adalah bilangan irasional?

Bilangan π = 3,14 atau π = 22/7 penggunaannya belum tepat karena nilai π yang benar yaitu 3,141592653589793… .

Penggunaan nilai π angkanya sama dengan 3,14 atau 22/7 yang mana ini adalah bilangan rasional. Sehingga hal ini tidak sesuai dengan sifat dari bilangan irasional itu sendiri.

3. Bilangan eksponensial (e)

Adalah konstanta dengan nilai angka ini 2,7182818…